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自由度
平面機構的自由度推導:
要解釋 Grübler 公式（或稱 Kutzbach 公式）如何推導出來，需要從平面機構的運動學基本原理出發，逐步分析構件、自由度和約束的關係。以下是 Grübler 公式的推導過程，針對平面五連桿機構的自由度計算：
Grübler 公式
平面機構的自由度公式為：
\[
DOF = 3(N - 1) - 2J_1 - J_2
\]
其中：
\(DOF\)：機構的自由度。
\(N\)：構件數（包括機架）。
\(J_1\)：一自由度關節數（例如轉動軸或滑動軸）。
\(J_2\)：二自由度關節數。
推導過程
推導 Grübler 公式的核心是計算機構中所有構件的總自由度，然後減去關節施加的約束，得到淨自由度。
一、單一構件的自由度
在平面運動中，每個獨立的構件（不與其他構件連接）有以下自由度：
兩個平移自由度（沿 x 和 y 軸移動）。
一個旋轉自由度（繞 z 軸旋轉，平面運動不考慮其他旋轉）。
因此，每個構件的自由度為 3。
對於一個機構有 \(N\) 個構件（包括機架），總自由度為：
\[
3N
\]
二、固定機架的影響
機構通常有一個固定的構件（機架），其自由度完全被約束（即自由度為 0）。為了計算運動構件的自由度，我們從總構件數中減去機架：
機架數量為 1，剩餘的運動構件數為 \(N - 1\)。
但是，為了統一計算，我們先考慮所有構件的自由度，然後通過約束來減去自由度。
三、關節的約束
關節（joint）限制了構件之間的相對運動，每個關節會減少一定的自由度：
單一自由度關節（例如轉動副或滑動副）：這種關節允許一個自由度（例如只允許旋轉或只允許滑動），因此約束了 2 個自由度（因為每個構件原本有 3 個自由度，關節限制了其中 2 個）。
每個一自由度關節的約束數：\(3 - 1 = 2\)。
如果有 \(J_1\) 個一自由度關節，總約束為：\(2J_1\)。
兩個自由度關節（例如平面關節，允許兩個平移或一個平移加一個旋轉）：這種關節只約束 1 個自由度。
每個二自由度關節的約束數：\(3 - 2 = 1\)。
如果有 \(J_2\) 個二自由度關節，總約束為：\(J_2\)。
四、總自由度計算
將所有構件的自由度減去關節的約束，得到機構的總自由度：
\[
DOF = 3N - (2J_1 + J_2)
\]
五、考慮機架的固定
機架作為一個構件，其自由度被完全約束（即 3 個自由度被移除）。因此，我們需要考慮機架的影響：
機架固定相當於減去 1 個構件的自由度，即減去 \(3 \cdot 1 = 3\)。
於是，公式調整為僅考慮運動構件的自由度：
\[
DOF = 3(N - 1) - (2J_1 + J_2)
\]
這就是 Grübler 公式的最終形式。
六、為什麼要減去機架的自由度？
機架固定後，其 3 個自由度（2 個平移 + 1 個旋轉）被約束。
這相當於從總自由度 \(3N\) 中減去機架的 \(3\)，因此使用 \(3(N - 1)\) 來表示運動構件的自由度。
應用到五連桿機構
對於平面五連桿機構：
\(N = 5\)（4 個運動連桿 + 1 個機架）。
\(J_1 = 5\)（5 個轉動副）。
\(J_2 = 0\)（無二自由度關節）。
代入公式：
\[
DOF = 3(5 - 1) - 2 \cdot 5 - 0 = 3 \cdot 4 - 10 = 12 - 10 = 2
\]
自由度為 2，符合五連桿機構的特性。
推導的關鍵假設
一、平面運動：公式假設機構在二維平面內運動，每個構件有 3 個自由度。
二、無冗餘約束：公式假設關節的約束是獨立的。如果機構有冗餘約束（例如平行四邊形結構），自由度可能需要進一步分析。
三、關節類型：公式適用於常見的轉動對、滑動對等，若有特殊關節，需重新計算約束。
特殊情況的考慮
如果機構有冗餘約束（例如某些連桿的運動被重複限制），Grübler 公式可能給出不正確的自由度（例如負值或零），這表示機構可能過約束或需要特殊分析。
對於五連桿機構，若結構為閉環且無冗餘約束，自由度通常為 2，這與實際應用（如繪圖機或機械手臂）一致。
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