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利用基因演算法解決機械設計問題:

Length = 20

平面五連桿 Plotter 設計目標是針對一組 Length cm×Length cm 的繪圖區域，尋找並最佳化五連桿機構中的三個核心設計變數：連桿 L1、連桿 L2，以及底部距離 distance。最終目的是在確保機構穩定運行的前提下，找到能使連桿尺寸最小化（即材料成本與運動慣性最低）的設計。

一、幾何參數設定

馬達間距 (LENGTH): 兩側連桿（L1 和 L4）的固定轉軸中心必須保持 Length cm 的水平間距。

繪圖區域 (W×H): 機構必須能覆蓋一個 Length cm 寬度 (W) 和 Length cm 高度 (H) 的完整矩形區域。

對稱性要求: 機構必須保持對稱，即 L1=L4 且 L2=L3。

二、最小化優化目標 (Objective)

設計應追求連桿總尺寸的最小化。優化目標 J 定義為：
最小化 J=1.0⋅L1+1.0⋅L2+0.5⋅distance

（此權重分配旨在優先最小化連桿長度 L1 和 L2，同時適度控制機構的底部高度 distance。）

三、運動學與工程約束 (Constraints)

設計結果必須嚴格滿足以下三個工程約束，以確保筆尖 C 點在整個繪圖區域內不會遇到死點或不可達的情況。

1. 可達性與外側奇異點迴避 (L1+L2 約束)

連桿 L1 與 L2 的長度總和必須大於機構在繪圖區域最遠點（即 X=Length,Y=distance+Length）處所需的最大距離 Dmax。

這項約束保證了筆尖在最遠處不會發生連桿 L1 和 L2 完全伸直共線（外側奇異點，即 A,B,C 共線）導致的鎖死。

2. 繪圖區域穩定性 (內側奇異點迴避)

連桿 L2 的兩倍長度 (2⋅L2) 必須大於筆尖 C 點在整個 Length cm×Length cm 繪圖區域內時，點 B 到點 D 之間的最大距離 Max(DBD)Area。

更重要的是，為了考慮實際製造公差和控制誤差，必須強制加入 1.0 cm 的安全裕度 (Δ)：
2⋅L2>Max(DBD)Area+1.0 cm

這項約束保證了筆尖在任何位置都不會發生連桿 L2 和 L3 完全伸直共線（內側奇異點，即 B,C,D 共線）導致的控制失效。

3. 轉軸方向約束 (Y 座標約束)

在求解逆運動學時，連桿 L1 和 L4 的擺動點 B 點和 D 點的垂直坐標 (YB 和 YD) 必須始終大於或等於零。

這確保了機構在整個工作過程中始終處於轉軸上方（上搖桿解）的穩定配置，防止機構翻轉至下方區域。

redesign_ga1.py

redesign_ga1.slvs

【基因演算法最終最小化尺寸設計結果】
找到**滿足約束且最小化尺寸**的設計（總尺寸 J ≈ 59.44 cm）:
L1 (Link 1 & 4) = 21.79 cm
L2 (Link 2 & 3) = 26.70 cm
Distance (Y-bottom) = 21.89 cm

--- 最終設計驗證 ---
1. 最遠點奇異點約束 (L1+L2 > D_max): 48.50 > 46.42 (滿足)
2. 繪圖區域穩定性 (2*L2 > Max(D_BD) + 1.0cm):
2*L2 = 53.40 cm
Max(D_BD) + 1.0 cm = 51.60 + 1.00 = 52.60 cm
**裕度滿足 (2*L2 僅略大於所需值，實現最小化)**
3. Y 座標約束 (Y_B, Y_D >= 0): 在逆運動學中已確保 (滿足)

最小尺寸設計如下:

【基因演算法最終最小化尺寸設計結果】
找到**滿足約束且最小化尺寸**的設計（總尺寸 J ≈ 54.97 cm）:
L1 (Link 1 & 4) = 20.00 cm
L2 (Link 2 & 3) = 25.44 cm
Distance (Y-bottom) = 19.04 cm

--- 最終設計驗證 ---
1. 最遠點奇異點約束 (L1+L2 > D_max): 45.45 > 43.87 (滿足)
2. 繪圖區域穩定性 (2*L2 > Max(D_BD) + 1.0cm):
2*L2 = 50.89 cm
Max(D_BD) + 1.0 cm = 49.63 + 1.00 = 50.63 cm
**裕度滿足 (2*L2 僅略大於所需值，實現最小化)**
3. Y 座標約束 (Y_B, Y_D >= 0): 在逆運動學中已確保 (滿足)

利用 Python + Sympy 解數學相關題目:

taming math and physics using sympy.pdf

sympy_documentation.pdf

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